A la teoria quàntica de camps, es proposen models de superfícies de Riemann amb mètriques pertorbades aleatòriament. Un exemple és l’anomenada gravetat quàntica de Liouville. Un dels temes actuals de recerca en anàlisi estocàstica amb més impacte, per la importància dels resultats que s’estan obtenint, té com objectiu construir i analitzar geometries aleatòries (com l’exemple que hem esmentat abans) des de diferents perspectives, descobrir les connexions entre elles i amb els fenòmens físics complexos que les motiven o inspiren.

Els objectes geomètrics aleatoris es construeixen a partir de processos estocàstics. A diferència dels clàssics: rectes, esferes, paraboloides, etc., no es defineixen mitjançant expressions concretes i tancades, ni es pot esperar que dues mostres del mateix objecte siguin idèntiques. Un exemple de geometria aleatòria en un espai euclidià és el moviment brownià. Malgrat la seva sofisticació, la complexitat d’aquest element és notablement inferior a la de formes aleatòries en arbres o superfícies.

En aquesta conferència presentarem un objecte geomètric aleatori que pertany al grup dels "complexos’’ -l’esfera browniana. L’elecció d’aquest cas obeeix a diverses especificitats: té un caràcter d’universalitat, en el sentit que apareix en diferents contexts, i la seva ànima és una combinació màgica de derivacions del moviment brownià.

Començarem recordant què és el moviment brownià. Evocarem la descripció trajectorial de Robert Brown, l’estadística d’Albert Einstein i la probabilista de Norbert Wiener. Il·lustrarem la visió com a geometria aleatòria plana, la propietat d’universalitat a partir de la construcció com a límit de successions de passejades aleatòries (teorema d’invariància de Donsker) i destacarem el caràcter fractal.

La part central de la conferència es dedicarà a la construcció de l’esfera browniana de Jean-François Le Gall. Té quelcom d’esfera, de brownià i és un cos fractal. Inspirada en el teorema d’invariància esmentant abans, trobem en l’àmbit dels grafs els objectes topològics discrets que jugaran el paper de les passejades aleatòries en la construcció de successions aproximants de l’esfera. A partir d’una codificació de grafs en arbres amb etiquetes, introduint l’aleatorietat i utilitzant una noció de límit convenient, s’obté (en el límit) un arbre continu aleatori amb etiquetes brownianes. La descodificació difícil i delicada d’aquest procés proporciona l’esfera browniana i una manera de calcular distància entre punts d’aquesta.

A la part final de la conferència descriurem la identificació de l’esfera browniana amb la gravetat quàntica de Liouville, demostrada recentment per Jason Miller i Scott Sheffield. Conceptualment, aquesta descoberta recorda les dues concepcions del moviment brownià (Brown i Einstein) i està empenyent l’extensió del programa que Kiyoshi Itô inicià als anys 1950 -la realització trajectorial de difusions en equacions diferencials estocàstiques- a geometries aleatòries complexes mitjançant equacions en derivades parcials estocàstiques.

Malgrat la descripció un pèl tècnica de la conferència, l’exposició serà intuïtiva, il·lustrada amb gràfics i assequible a un públic científic no necessàriament matemàtic.