Català 
Castellano 
English 
Autora: Sanz Solè, Marta
Títol: Deambular amb trajectòries d'equacions en derivades parcials estocàstiques / memòria llegida per l'acadèmica electa Marta Sanz-Solè, a l'acte de la seva recepció el dia 17 de gener de 2019 ; discurs de resposta per l'acadèmic numerari Vicenç Navarro Aznar
Descripció: 70 pàgines : il·lustracions ; 24 cm
Resum: Les equacions en derivades parcials estocàstiques (EDPE) són una àrea de les matemàtiques amb una activitat de recerca molt intensa. En el marc d’aquesta teoria es poden formular reptes teòrics atractius i difícils, a causa de la complexitat dels seus objectes d’estudi bàsics: processos estocàstics que, en general, tenen trajectòries irregulars. Les EDPE juguen un paper important en la modelització de fenòmens evolutius en un ampli ventall de camps científics, com la física, la biologia, l’economia, la meteorologia i les neurociències. La conjunció dels dos aspectes, problemes teòrics i aplicacions, contribueix a la vitalitat i impacte de l’àrea.
Aquesta memòria és una contribució a la teoria del potencial per EDPE. Hi estudiem un problema que té les seves arrels en la teoria probabilista del potencial, desenvolupada inicialment per almoviment brownià i els processos de Markov. L’objectiu final és donar resultats quantitatius sobre les probabilitats que les trajectòries de solucions d’EDPE visitin conjunts deterministes A, expressats en funció de la mesura i forma de A.
Comencem la memòria fent una descripció del problema en termes genèrics i, tot seguit, exposem els resultats clàssics sobre el moviment brownià i algunes generalitzacions. A continuació abordem els objectius que hem indicat en el paràgraf anterior. Primerament s’analitza el cas específic dels processos gaussians i, després de fer una introduccióa les EDPE, apliquem els resultats a exemples d’equacions lineals, per a les quals les solucions deneixen processos d’aquella classe. L’estudi de les probabilitats de sojorn per EDPE no lineals requereix establir prèviament resultats sobre les lleis univariants i bivariants dels camps aleatoris que en són solucions. Una eina adequada per a obtenir-los és el càlcul de Malliavin, del qual fem una breu introducció. Utilitzant, entre d’altres, tècniques d’aquesta teoria, presentem una extensió dels criteris relatius a processos gaussians que s’han exposat abans a processos més generals i els apliquem per a deduir resultats sobre les probabilitats de sojorn relatives a les equacions estocàstiques de la calor i d’ones no lineals
